年金现值和年金终值的公式如何推导

今天我们一起来了解下年金现值和年金终值的公式如何推导，相关的详细内容已经整理好了，想了解得同学们可以看看以下文章

年金现值和年金终值的推导公式

例子：

现金流量图

以图示现金流量图为例，每期存入银行A=10万元，利率i=5%，到第四期末本利和F为多少?

年金终值(F/A,i,n)推导过程：

1、以复利的方式计算，这一步过程是推导的基础，年金终值公式正是在这个基础上化解出来的：

F=A*(1+i)^3+A*(1+i)^2+A*(1+i)^1+A=A*【(1+i)^3+(1+i)^2+(1+i)^1+1】

=10*【(1+5%)^3+(1+5%)^2+(1+5%)^1+1】

2、【(1+i)^3+(1+i)^2+(1+i)^1+1】是一个等比数列，且公比q=(1+i)=(1+5%)，所以数列和Sn=(1-q^n)/(1-q)，将q替换成(1+i)，则Sn=[1-(1+i)^n]/[1-(1+i)]=[(1+i)^n-1]/i

3、结合1和2，则F=A*[(1+i)^n-1]/i=10*[(1+5%)^4-1]/5%，反之A=F*i/[(1+i)^n-1]。

年金现值(P/A,i,n)推导过程

根据F=A*[(1+i)^n-1]/i和F=P(1+i)^n，可知A*[(1+i)^n-1]/i=P(1+i)^n，

所以A=P*i(1+i)^n/[(1+i)^n-1];P=A*[(1+i)^n-1]/i(1+i)^n。

增长型年金现值的计算

例4：某教育基金打算为山区小学提供20年的教育补助，年末支付给山区小学10万元，并且该资金以每年5%的增长率增长，比如第2年年末需要支付10.5万，而该教育基金的投资回报率(贴现率)为10%，那么请问该教育基金目前需要准备多少钱?

该题案例属于增长型年金求现值，可以代入相应的公式(公式的推导这就不阐述了)。

其中公式C为第1年支付金额，r为投资回报率，g为年金增长率，t为支付期限，公式表现为两种形式：

当r≠g;PV=C/(r-g)*{1-[(1+g)/(1+r)]^t}

当r=g;PV=t*C/(1+r)

因为题文r≠g，所以将数值代入公式PV=C/(r-g)*{1-[(1+g)/(1+r)]^t}=121.2080万元。

这么难记的公式谁去记它?所以，要求该现值，我们可以反推回去，通过Excel普通年金求得第二年现值，再求得当前现值。

这里需要分三步来走：

1、求第二年年末支付金额：10万*105%=10.5万。

2、求第二年年初现值(将增长年金转为普通年金)：因为投资回报率为10%，而支付增长率为5%，那么一边按比例流入，一边按比例流出，相较于本金而言，实际投资回报率为r-g=10%-5%=5%(类同以对冲掉通货膨胀率后的实际收益率)。也就是说，从第2年到第20年就变成类同于养老金的领取(如上文Excel的PV函数求得)，在未来的19年中，由增长型年金转化为普通年金，那么第2年年初的现值(或需要准备的资金，如下图求得)为1332407元。

3、求当前现值(第1年年初现值)：因为支付是期末支付(或者说第2年年初支付，第1年年末的终值等于第2年年初的现值)，而第1年年末相较于年初已经通过投资获得10%的收入，那么根据FV=PV*(1+r)的公式，PV=FV/110%=1332407/110%=121.1208万，与前文的计算结果是一致的。

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